Die drei binomischen Formeln lauten folgendermaßen:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a − b)(a + b) = a² − b²
Im Folgenden schauen wir uns die binomischen Formeln und ihre Herleitung im Detail an. Alle drei Regeln lassen sich durch Ausmultiplizieren der Quadrate und Anwendung des Kommutativgesetzes nachweisen.
Erste binomische Formel
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Hier der Nachweis der ersten binomischen Formel:
(a + b)²
= (a + b) · (a + b)
= (a + b) · a + (a + b) · b
= a² + b · a + a · b + b²
= a² + 2 · a · b + b²
= (a + b) · (a + b)
= (a + b) · a + (a + b) · b
= a² + b · a + a · b + b²
= a² + 2 · a · b + b²
Eine alternative Schreibweise:
(a + b)²
= (a + b) · (a + b)
= a² + a · b + b · a + b²
= a² + 2 · a · b + b²
= (a + b) · (a + b)
= a² + a · b + b · a + b²
= a² + 2 · a · b + b²
Zweite binomische Formel
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Die zweite binomische Formel lässt sich nach dem gleichen Muster nachweisen wie auch die erste Regel:
(a – b)²
= (a − b) · (a − b)
= (a − b) · a − (a − b) · b
= a² − b · a − a · b + b²
= a² − 2 · a · b + b²
= (a − b) · (a − b)
= (a − b) · a − (a − b) · b
= a² − b · a − a · b + b²
= a² − 2 · a · b + b²
Eine andere Schreibweise wäre:
(a – b)²
= (a − b) · (a − b)
= a² − a · b − b · a + b²
= a² − 2 · a · b + b²
= (a − b) · (a − b)
= a² − a · b − b · a + b²
= a² − 2 · a · b + b²
Es lässt sich aber auch die erste binomische Formel anwenden:
(a − b)²
= (a + (−b))²
= a² + 2a(−b) + (−b)²
= a² − 2 · a · b + b²
= (a + (−b))²
= a² + 2a(−b) + (−b)²
= a² − 2 · a · b + b²
Dritte binomische Formel
(a − b)(a + b) = a² − b²
Hier der Nachweis der dritten binomischen Formel:
(a − b)(a + b)
= (a − b) · a + (a − b) · b
= a² − b · a + a · b − b²
= a² − b²
= (a − b) · a + (a − b) · b
= a² − b · a + a · b − b²
= a² − b²
Danke! Hat mir geholfen!